Ваш кошик порожній

Купити

Кількість: 0

Всього: 0,00

0

Об'єм кулі (принцип Кавальєрі)

Об'єм кулі (принцип Кавальєрі)

Обчислення об'єму кулі за допомогою відповідного циліндра і конуса.

Математика

Ключові слова

обсяг сфери, Принцип Кавальєрі, обчислення обсягу, тіла, сфера, математика

Пов'язані об'єкти

Сцени

Ілюстрація принципу Кавальєрі

  • r

Принцип Кавальєрі

Візьмемо два геометричних тіла та встановимо їх на плоскій поверхні! Перетнемо їх площинами, паралельними до основи, і тоді розглянемо геометричні тіла й отримані перерізи за такими критеріями:

– Площі основ фігур рівні.
– Площі всіх паралельних основ перерізів попарно співпадають.
– Висоти обох тіл рівні.

Якщо згадані вище умови виконуються, то об'єми двох геометричних тіл рівні. Об'єм кулі можна знайти за допомогою принципу Кавальєрі, або застосувавши методи вищої математики.

Розглянемо півкулю радіуса r і її переріз площиною, а також розміщений на цій площині циліндр, радіус круга основи якого і висота дорівнює r. Виріжемо з цього циліндра конус основою вверх, радіус і висота якого дорівнює r. На рисунку видно ці тіла разом з їх дзеркальним відображенням відносно площини. Площі основ двох тіл однакові.

Якщо розглядати перерізи, паралельні цій площині, то потрібно визначити площу перерізу на висоті h.

В даному випадку перерізом кулі є круг, квадрат радіуса якого (за теоремою Піфагора) буде дорівнювати r ² – h ².
Тому його площа:

У випадку другого тіла його перетином є кільце, зовнішній радіус якого r, а внутрішній h.

Площа дорівнює:

Тобто для двох тіл площі перерізів, які паралельні основам попарно рівні.

Виходячи з побудови двох тіл, стверджуємо, що їх висоти також рівні.

Всі умови принципу Кавальєрі виконуються, тому об'єми обох тіл рівні.

Анімація

  • r
  • h

Пов'язані об'єкти

Куля

Ку́ля — це множина всіх точок простору, що перебувають від заданої точки на відстані, не більшій за дану відстань.

Об'єм кулі (ілюстрація)

Додаючи об'єми "тетраедрів" ми отримаємо приблизну величину об'єму кулі.

Площа поверхні сфери (демонстрація)

Множина точок простору, які лежать на однаковій відстані, що дорівнює радіусу кулі, від її центра утворюють поверхню кулі.

Фізики, котрі змінили світ

Ці вчені зробили величезний внесок у розвиток фізики як науки.

Визначення периметра і площі плоских фігур, а також площі поверхні та об'єму геометричних тіл

За допомогою анімації ви можете познайомитись з формулами для знаходження периметра і площі плоских фігур, а також з формулами для обчислення об'єму та...

Зміна об'єму

За допомогою цієї сцени ми можемо простежити взаємозв'язок між коефіцієнтом подібності та зміною об'єму геометричних тіл.

Тіла обертання навколо осі симетрії

Тіло обертання отримаємо при обертанні плоскої геометричної фігури навколо прямої, що лежить у її площині, як навколо осі.

Геометричні перетворення - оберт

Анімація ілюструє оберт на площині (навколо точки) і в просторі (навколо прямої).

Завдання на знаходження об'єму та площі поверхні.

Задачі на обчислення, пов'язані з виділеними з куба фігурами. Розвиває просторову уяву.

Об'єм тетраедра

Об'єм тетраедра обчислюється, виходячи з розрахунку об'єму призми.

Added to your cart.