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Volume das esferas (princípio de Cavalieri)

Volume das esferas (princípio de Cavalieri)

É possível calcular a superfície de uma esfera recorrendo a um cilindro e cone apropriados.

Matemática

Palavras-chave

volume de esfera, princípio de Cavalieri, cálculo da superfície, sólidos, esfera, matemática

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Cenas

Demonstração do princípio de Cavalieri

  • r

Princípio de Cavalieri: Considere dois sólidos numa superfície plana. Cruze-os com dois planos paralelos à sua base e examine os dois sólidos e suas seções transversais de acordo com as seguintes propriedades:

- As superfícies das suas bases são iguais.

- Todos os cortes transversais paralelos às suas bases têm áreas iguais.

- As alturas dos dois sólidos coincidem.

Se todas as condições são verdadeiras, os volumes dos dois sólidos são iguais.

O princípio de Cavalieri facilita muito o cálculo de volumes de esferas. Sem este princípio, seriam necessárias ferramentas matemáticas mais complexas para obter o resultado.

Considere-se uma semi-esfera de raio r e o seu corte transversal, e um cilindro que está incluído no mesmo plano. O raio da base circular e a altura do cilindro são r. Corta-se do cilindro um cone voltado para cima, com raio e altura r. Na animação, estes sólidos são apresentados em conjunto com as suas imagens simétricas relativas ao plano. As superfícies das bases dos dois sólidos são iguais.

Quando se examinam os seus cortes transversais relativos ao plano, tem de se calcular a área do corte transversal, que está à altura h.

No caso de se tratar de uma esfera, o corte transversal é um círculo. Segundo o teorema de Pitágoras, o quadrado do raio do círculo é igual a r² - h², portanto, a sua área é dada por

No caso do outro sólido, o corte transversal é uma coroa circular com um raio externo r e raio interno h. A sua área superficial é

Em outras palavras, se considerarmos dois sólidos, as áreas superficiais dos seus cortes transversais paralelos às suas bases coincide. Da derivação dos dois sólidos, as suas alturas são iguais.

Todas as condições do princípio de Cavalieri estão satisfeitas, portanto os dois sólidos têm volumes iguais.

Animação

  • h

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