Twój koszyk jest pusty

Zakupy

Sztuka: 0

Razem: 0,00

0

Objętość kuli (zasada Cavalieriego)

Objętość kuli (zasada Cavalieriego)

Wykorzystując odpowiedni walec i stożek możemy wyliczyć objętość kuli.

Matematyka

Etykiety

objętość kuli, Zasada Cavalieri's, obliczanie objętości, ciała stałe, kula, matematyka

Powiązane treści

Sceny

Obrazowanie metodą Cavalieriego

  • r

Zasada Cavalieriego

Weźmy dwie bryły i ustawmy je na jednej płaszczyźnie. Wykonajmy przekrój brył równolegle do płaszczyzny, na której stoją, następnie zbadajmy bryły i ich przekroje na podstawie następujących własności:

– Pola powierzchni ich podstaw są równe.
– Pola powierzchni każdego przekroju, wykonanego równolegle do płaszczyzny, na której stoją, są równe dla każdej pary.
– Wysokość obu brył jest równa.

Jeśli wszystkie warunki są spełnione, wówczas te bryły mają równe objętości.

Zasada Cavalieriego jest niezwykle pomocna w obliczaniu obiętości kuli. Bez niej wynik moglibyśmy uzyskać tylko za pomocą metod matematyki wyższej.

Weźmy półkulę o promieniu r razem z jej przekrojem oraz walec, spoczywający na tej samej płaszczyźnie, którego promień podstawy i wysokość również wynoszą r. Wytnijmy z walca stożek z podstawą u góry, którego promień podstawy i wysokość również wynoszą r. Rysunek pokazuje te bryły wraz z ich odbiciami lustrzanymi na tej samej płaszczyźnie. Pola powierzchni podstaw tych dwóch brył są równe.

Analizując równoległe do podstawy przekroje brył, powinniśmy obliczyć również pola powierzchni przekroi znajdujących się na wysokości h.

W przypadku kuli będzie to okrąg, w którym kwadrat promienia (zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa) równy jest r² – h², więc pole wynosi:

W przypadku drugiej bryły otrzymamy pierścień kołowy, w którym promień zewnętrzny to r, a promień wewnętrzny h.
Pole powierzchni wynosi:



Czyli pola powierzchni przekroju obu brył, wykonanych równolegle do płaszczyzny, na której stoją, są równe dla każdej pary.

Z uwagi na genezę brył, ich wysokości także są równe.

Wszystkie warunki zasady Cavalieriego zostały spełnione, z czego wynika, że objętości tych dwóch brył są równe.

Animacja

  • h

Powiązane treści

Kula

Kulą nazywamy zbiór takich punktów w przestrzeni, których odległości od pewnego punktu nie są większe od pewnej zadanej odległości.

Objętość kuli (wizualizacja)

Poprzez dodanie objętości czworościanów otrzymamy przybliżoną wartość objętości kuli.

Fizycy, którzy zmienili świat

Działalność tych wybitnych naukowców miała olbrzymi wpływ na rozwój fizyki.

Obliczanie obwodu, obszaru, powierzchni i objętości

Ta animacja przedstawia wzory, za pomocą których możemy obliczyć obwód i powierzchnię wielokątów, jak również powierzchnię i objętość brył.

Powierzchnia kuli (wizualizacja)

Powierzchnię kuli (sferę) stanowią punkty w przestrzeni, których odległości od środka kuli są równe promieniowi.

Zmiana objętości

Animacja w sposób przejrzysty prezentuje zależność pomiędzy skalą podobieństwa a zmianami objętości.

Bryły obrotowe

Jeśli obrócimy płaską figurę geometryczną wokół prostej na jej płaszczyźnie, otrzymamy bryłę obrotową.

Przekształcenie geomeryczne (obrót)

Animacja prezentuje obracanie na płaszczyźnie ( wokół punktu) i w przestrzeni (wokół prostej).

Objętość czworościanu

Wyliczenie objętości czoworścianu rozpoczynamy od wyliczenia objętości graniastosłupa.

Zadanie na wyliczenie pola powierzchni i objętości

Zadania na wyliczenie parametrów brył pochodzących z „prostego sześcianu” rozwija również widzenie przestrzenne.

Added to your cart.