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구체의 부피 (카발리에리의 원리)

구체의 부피 (카발리에리의 원리)

적당한 원통형과 원뿔형을 이용하면 구체의 부피를 계산하기가 가능하다.

수학

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구의 부피, 카발리에리 원리, 부피 계산, 입체, 구, 수학

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장면

카발리에리의 원리에 대한 설명

  • r

카발리에리의 원리

두 개의 객체를 한 평면에 두고 나서 기저와 평행한 두 개의 평면으로 가로지른다. 다음으로, 두 개의 객체, 그리고 횡단면들을 다음 성질을 바탕으로 살펴본다:

– 기저의 면적은 똑같다.
– 기저와 평행한 횡단면들은 면적이 똑같다.
– 두 객체의 높이는 똑같다.

이 중에서 모든 성질은 같으면 두 객체의 부피도 똑같다.

카발리에리의 원리는 구형의 부피를 계산하는 데 큰 도움이 된다. 이것이 없더라면 결과를 이루기 위해 고급 수학적 방법을 이용해야 할 것이다.

r 이라는 반지름을 가진 구형과 그의 횡단, 그리고 같은 평면에 위치하는 원통형을 조사한다. 원형 기저의 반지름과 원통형의 높이도 r이다. 이 원통형을 잘라서 기저 부분이 위에 있는 원뿔형을 만드는데 그의 반지름과 높이도 r이다. 이 애니메이션에서는 이 객체들이 평면에 상대한 경상과 같이 보인다. 두 객체의 기저의 면적은 동일하다.

이 평면과 평행한 횡단을 조사할 때 횡단의 면적을 계산해야 한다. 횡단은 h의 높이에 있다.

구형의 경우에는 횡단이 원형이다. 피타고라스의 정리 때문에 원형의 반지름의 제곱은 r² - h²이므로 면적은 다음과 같다:

다른 객체의 경우에는 횡단이 고리인데 외부 반지름은 r이고 내부 반지름은 h다.
이의 면적은:

다른 말로, 두 주어진 객체의 경우에는 기저와 평행한 횡단의 명적은 쌍마다 동일하다.

두 객체의 형성으로 인해 높이도 똑같다.

카발리에리의 원리의 모든 조건을 만족시키므로 두 객체는 부피도 똑같다.

애니메이션

  • h

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